拉普拉斯算子在圆柱体表面上的特征函数正是两个方向的余铉函数之乘积,即
cos(nx/a)cos(2my/b),这里a,b分别是动物身体长度和“腰围”,m,n是自然数或者零,x,y是两个方向变量。这样的特征函数的图象正好是条纹(如果m=0或n=0),或者斑点。
究竟哪个特征函数图象出现在动物身上取决于很多自然因素,而最重要的就是a和b的比例。a/b不太大或小时,两个方向都容易在特征函数中出现,所以斑图倾向于斑点型;a/b很大或很小时,特征函数就容易是一个方向的余弦函数,斑图就是条纹。
用这么一点简单分析,我们就可以得到生物学两条“定理”了:
“定理”一:蛇的表皮一般总是条纹状,很少斑点状。不相信这个规律的朋友不妨找一些蛇的图片来验证一下,有名的毒蛇如金环蛇,银环蛇都是条纹状表皮的典型。
数学上蛇正是动物身体长度和宽度比例很大的最好例子。另外,根据同样道理,蛇的条纹也大多是横条,很少竖条。从图1至图4可看出, 蛇的表皮图案一般是环形,
而且横条居多,竖条较罕见。
“定理”二:世界上只有条纹尾巴,斑点身体的动物,而没有斑点尾巴,条纹身体的动物。
图灵发现,动物的斑纹当中,存在着令人意想不到的一致性:所有斑纹都可以用同一类型的方程式来产生,被称作是反应扩散方程。这类方程式是在描述了当不同的化学物品放在一起产生的反应、扩散到表面的情况。
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