21世纪的数学
“21世纪几乎肯定会把数学再转变为全人类的活动” 

数学界普遍认为希尔伯特是历史上最后一个数学全才,只有他能够在1900年发表那著名的演讲,提出了23个数学上有待解决的重大问题,对20世纪的数学产生了很大的影响。

100年之后,已经没有一位数学家能够或者敢于为21世纪整个数学的发展指出方向,所以在2000年,国际数学联盟组织了来自全世界的30位数学精英,集体撰写了《数学:前沿与展望》一书,希望该书能够从总结20世纪的数学中指出21世纪数学发展的一个大致趋向。  

 

但该书在前言中就指出,此书还是有不少遗漏的地方。此书指出的方向有多少是正确的,有多少错误的,到时候才会知道。人非神仙,谁能料事如神?就是希尔伯特的演讲,经100年的实践检验,也被证明有较大的失误。 

在历史上,对数学应如何发展,一直存在两种不同的意见。著名数学家 庞加莱认为,数学离开物理就会走入歧途,物理学不仅迫使人们面临大量的 数学问题,而且能影响我们朝着梦想不到的方向前进。而另一位数学大师希尔伯特则认为,数学的发展主要是由于数学自身产生的问题,并提出一些他 认为对数学有重要影响的数学本身的问题,即著名的希尔伯特23个问题。这使得以后许多数学家沉湎于寻找这些问题的答案。

阿迪雅(前英国皇家学会主席,三一学院院长,牛顿研究所所长)认为,20世纪下半叶数学的发展已经回归到“更多的庞加莱精神。强调几何的思维,甚至在代数与数论的领域也是如此。”我认为这是21世纪数学发展总的趋向。然而这仅针对基础数学而言。20世纪中数学已渗透到人类活动的许多方面,如物理学、化学、生物学、工程学、计算机科学、经济学、控制论、决策理论……难以尽列。日本大企业喜欢从大学数学系的毕业生中招聘管理人员,认为他们有逻辑的头脑,而逻辑思维在企业管理中是至关重要的。国际上,曾有好几位国防部长(包括美国的)是数学系毕业的。

阿迪雅说,“21世纪几乎肯定会把数学再转变为全人类的活动”,这是有根据的 。

能否把21世纪数学的趋向说得更具体一些呢?这是大大超出我的能力所及。《数学:前沿与展望》是组织了30位最著名的数学家写成的,还是有许多遗漏的地方,特别是应用数学方面。我只能用统计的方法,根据此书中哪一方面的作者最多来预测基础数学在未来的主要趋向。 

书中关于“数论”的作者最多,共有5位。看来在21世纪“数论”又将重登“数学的皇后”宝座。这与怀尔斯在20世纪末解决了历史上的大难题费马大定理有关。几百年来这个问题耗费了不少数学工作者的心血,毫无办法解决,以至于有一位哲学家把它称为人类思想的极限。他的意思是说这个问题非人类的思想所能解决。所以这问题的解决不但有科学的意义,而且有哲学的意义,即极限是可以突破,正如音障可以突破一样。下一世纪主攻的难题,自然是黎曼假设(即黎曼猜想),书中有好几位作者(包括不是数论方面的作者),都提出这个世纪难题。值得注意的是,正如阿迪雅所说,费马大定理的证明“强调了几何的思维”,而不是用陈法解决。这说明一个真理:知新才能创新。看来肯定或否定黎曼假设的证明也将如此。

书中另一个作者最多的领域是数学物理,共有四个半。如果加上序言的作者阿迪雅(他过去一直宣传数学物理的重要性)则有五个半。为什么会有半个呢?因为其中有一位作者——丘成桐——所写的题目是“几何与分析的回顾”,其内容多半与数学物理有关。

丘成桐近期的工作与现在数学物理最热门的超弦理论密切相关。当然,不论国内或国外的物理界都对超弦理论褒贬不一。2000年9月,阿迪雅在清华大学的杨振宁讲座上作报告,认为超弦理论是21世纪理论物理的主要方向。有意思的是杨振宁对超弦理论是属于不以为然之列。但是两人对21世纪的中国数学皆寄予厚望。 

书中对其他数学分支的展望,都只有一二篇,在这里也无法一一列举,但它们对数学家及数学政策的决策者会有很大的参考价值。 

 

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