对代数学的发展起了重要作用的丢番图

丢番图(Dio-phantus of Alexandria,大约公元226年——300年)是著名的希腊数学家,他长期在亚历山大做数学研究工作。由于在丢番图的著作中,较少提及别的数学家,所以我们很难从他的著作中,判断他的准确生卒年份。

 

现在只是根据普赛勒斯写过一封信,提到阿纳托利厄斯(约公元280年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图,因此两人应同时代或丢番图为稍早些。据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后。当时正是亚历山大城辉煌的年代,有很多数学新观念也是在那时形成的。

丢番图主要数学著作《算术》 

比较确切知道的是丢番图有两部著作,一是《算术》,大部分保存了下来;另一个是《多角数》,只有少部分留下来。另外在《算术》中几次提到过的是《推论集》,可能是若干数论问题的独立汇编,也可能是附属在《算术》中的失传部分。此外,伊安布利霍斯(约公元250—约330年)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图的另外一本书《分数算法》,是讨论有关分数计算方法的,可惜已失传。

《算术》是丢番图最重要的著作,也是代数史上的一部影响深远的著作。它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》一比高下。这书的序中说,全书共有13卷。保留至今天的只有6 卷。相传其余7 卷在10世纪以前已经失传。5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书,只注了6卷,这也许是其余各卷被人忽视最终失传的原因。       

最早具有代数学特征的著作 

希腊时代“算术”一词,主要指“数的理论”,即相当于现在的“数论”。而数字的加、减、乘 、除等运算则叫做“计算的技巧”,两者有明显的区别。这种分法从毕达哥拉斯时代开始,一直延续到近代,如高斯的数论名著就叫做《算术研究》(1801)。

丢番图《算术》是讲数论的,它讨论了一次、二次以及个别的三次方程,还有大量的不定方程。现在对于具有整系数的不定方程,如果只考虑其整数解,这类方程就叫做丢番图方程。它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数。  

从另一个角度看,《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数,并对未知数加以运算,根据问题的条件列出方程,然后解方程求出未知数。

《算术》也有未知数,这未知数一般就是问题的答案,一切运算只允许对已知数来施行。在代数中既然要对未知数加以运算,就需要用某种符号来表示它。从引入未知数,创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看,丢番图《算术》完全可以算得上是代数。当时代数学没有专门的名称,algebra是9世纪花拉子米以后才出现的名词,而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受。在《算术》中,丢番图采用了一套数学符号来表示未知量 ,他也是首位用符号来表示幂的数学家。丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的。他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的。

《算术》以问题集的形式收录了290个题目,其中希腊文本189个,阿拉伯文本101个,此外还有十几个引理和推论,合起来共三百多个问题。大体上按由易到难排列,但很难看得出是用什么标准来分类的。解题的方法也是五花八门,没有一定的法则。数学史家汉克尔(Hankel,1839—1873)说:“近代数学家研究了丢番图的100个题后,去解101个题,仍然感到困难。……丢番图使人眼花缭乱甚于使人欣喜”。这话稍嫌夸张,却抓住了问题的要害。丢番图没有着力去探求一般性的解法,或去研究多种解法之间的内在联系,这是《算术》的最大缺点。

 “丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用。”—— 伊夫斯

希腊数学自毕达哥拉斯学派以后,兴趣中心在几何,他们认为只有经过几何论证的命他才是可靠的。为了逻辑的严密性,代数也披上了几何的外衣,一切代数问题,甚至简单的一次方程的求解,也都纳入僵硬的几何模式之中。直到丢番图,才把代数解放出来,摆脱了几何的羁绊。

 例如,(a+b)2=a2+2ab+b2的关系,在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4),而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果。 

人们认为《算术》是希腊数学的划时代杰作。《算术》的核心内容是关于以代数手法解方程和不定方程的研究。这里的方法不依赖于几何证明。关于整系数方程的整数解的研究是当今数学的一个分支。这一分支被称之为丢番图方程。寻找毕达哥拉斯的三元组就是一个这样的例子。丢番图还使用了介于文体和完全的符号代数之间的一种过渡性的代数符号体系。阿拉伯数学家把《算术》翻译成了阿拉伯语并加以广泛研究。

丢番图在解题过程中使用了许多高超的技巧,可以说在希腊数学中是独树一帜。有的数学史家说,如果丢番图的著作不是用希腊文写的,人们就不会想到这是希腊人的成果,因为看不出有古典希腊数学的风格,从思想方法到整个科目结构都是全新的。如果没有丢番图的工作,也许人们以为希腊人完全不懂代数。有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人。

费马感兴趣的公式

在《算术》第2卷的第8题是关于不定方程的:将一个已知的平方数分为两个平方数。例如将16分成两个平方数。设一个平方数是x2,那么另一个是16-x2,现要求16-x2是一平方数。即16-x2=M2不妨设M=mx-4,其中m是某一整数,而4是16的平方根。例如令m=2,于是16-x2=4x2-16x+16,立刻得到x=16/5 。

 前面已经提到,费马对这一命题很感兴趣,在旁边的空白处写下著名的“费马大定理”。大约是在 1637年左右,费马在看到这个题目:“将一个平方数分为两个平方数”时,在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”。1670年费马的儿子将他父亲的全部批注插入正文,重新出版巴歇的希-拉对照本近代,不包括新发现4卷的“丢番图全集”,标准版本是唐内里(Tannery,1843—1904,法国数学史家)编辑、校订的希-拉对照本《亚历山大的丢番图全集,包括希腊文注释》。以后又有巴歇(Bachet de Méziriac,1581—1638)校订注释的希腊-拉丁文对照本《亚历山大的丢番图算术6卷,多角数1卷》。

丢番图享年之谜

在《希腊诗文选》中,收录了一个特别有趣的丢番图墓志铭: 
坟中安葬着丢番图,
多么令人惊讶,
它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一,
又过十二分之一,
两颊长胡,
再过七分之一,
点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子,
可怜迟到的宁馨儿,
享年仅及其父之半,
便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补,
又过四年,
他也走完了人生的旅途。

用这样的方式记载了他享年的秘密,即“丢番图的一生,童年生活占1/6 ,再过1/12 他开始长胡子,再过1/7 他结了婚,婚后 5 年生了一个儿子。他的儿子比他早 4 年辞世,享年是他的1/2 。”
这相当于一元一次方程: x=84。由此知他享年84岁。    

 

 

版权所有:中国数字科技馆 京ICP备06067556号
资源建设维护单位: 中国科学院数学与系统科学研究院
地址:北京市中关村东路55号 邮编:1000190 电话:010-62553304