创立了新比例理论的欧多克索斯

欧多克索斯(Eudoxus) 约公元前400-前347,是古希腊成就卓著的数学家和天文学家。欧多克索斯生于尼多斯(今土耳其西南角),约公元前347年卒于尼多斯。曾受教于柏拉图及阿尔希塔斯。 

欧多克索斯出生于一个世代行医的家庭,年轻时就读于著名的尼多斯医科学校。毕业后当过医生赛奥梅顿的助手。在这个时期曾去过意大利和西西里,向阿尔希塔斯学习几何。

 

公元前368年,欧多克索随同赛奥梅顿去雅典作为期两个月的访问。赛奥梅顿在皮雷埃夫斯为他安排了住所,但是求知渴望驱使他每天步行十多公里,往返于皮雷埃夫斯和雅典之间,去“学园”聆听柏拉图等大师们的演讲。他深受激励,增强了研究数学、天文学和哲学的志趣,并和柏拉图本人建立了友谊。返回尼多斯之后,他一边行医,一边研究学问。在公元前360年到前350年之间,欧多克索斯曾带领一些学生迁往雅典,和柏拉图学园建立了更为密切的联系。

欧多克索斯对数学的最大功绩是创立了关于比例的一个新理论。他首先引入“量”的概念,将“量”和“数”区别开来。用现代术语来说,他的“量”指的是连续量,而“数”是离散的,仅限于有理数。其次,改变“比”的定义为:“比”是同类量之间的大小关系。从这一定义出发可以推出有关比例的若干命题,而不必考虑这些量是否可公度。这在希腊数学史上是一个大突破。可惜他的著作已失传,他的贡献只能从别人的工作中去了解。根据亚里士多德著作中的有关记述和后来评注家对欧几里得《几何原本》的分析,可以断定欧多克索斯创立的比例论,成为欧几里得《几何原本》第五、十二卷的主要内容。

事实上,19世纪的无理数理论是欧多克索斯思想的继承和发展。不过欧多克索斯理论是建立在几何量的基础之上的,因而回避了把无理数作为数来处理。尽管如此,欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础。为了防止在处理这些量时出错,他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系,从而大大推进了几何学的发展。从他之后,几何学成了希腊数学的主流。

欧多克索斯对数学的第二个贡献是建立了严谨的穷竭法,并用它证明了一些重要的求积定理。穷竭法起源于安蒂丰(Anti-phon),后来希波克拉底也使用过,但只是到了欧多克索斯手里,穷竭法才真正成为一种合格的几何方法。穷竭法的逻辑依据,是欧多克索斯由上述定义4推得的下述结果:

“设给定两个不相等的量,如果从其中较大的量减去比它的一半大的量,再从所余的量减去比这余量的一半大的量,继续重复这一过程,必有某个余量将小于给定的较小的量”。这个结果,现在被称为欧多克索斯原理。阿基米德曾明确地指出,“棱锥体积是同底同高的棱柱体积的三分之一”和“圆锥体积是同底同高的圆柱体积的三分之一”这两个定理是欧多克索斯首先予以证明的。不过前一个结论曾先由德谟克利特未加证明地提出过。欧多克索斯的穷竭法可看做是微积分的第一步,但没有明确地用极限概念,也回避了“无穷小”概念。

此外,欧多克索斯还研究过“中外比”(又称黄金分割)数学问题,他将关系式AB:AC=AC:CB之比称为“中外比”。经代数运算后可知此比值约为1.618。根据《几何学史》的记载,欧多克索斯在研究“中外比”时应用了分析法。他发现许多图形的比例结构中都包含着黄金分割,例如一等腰三角形若其底角为顶角之两倍,则其腰长与底长之比为中外比;一正五边形中相邻顶角之两对角线互相将对方分割为中外比。

现今数学中被称为“阿基米德公理”(对于任意二正数a,b,必存在自然数n,使得na>b),阿基米德明确地把它归功于欧多克索斯。后者还证明了一个十分重要的命题:取去一量之半,再取去所余之半,这样继续下去,可使所余的量小于另一任给的小量。这是近代极限论的前驱。他还研究了“倍立方”问题,做出一种作图工具得到倍立方的解。在应用穷竭法时代获得极大成功,借用归谬法证明了两圆面积之比,等于其半径平方之比,两球体积之比等于其半径立方之比,棱锥与圆锥的体积分别是等底等高的棱柱、圆柱体积的1/3等命题。

 

 

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