解析几何创立者——笛卡儿

王渝生

初等数学和高等数学的分界线是解析几何,而解析几何是集逻辑、几何、代数三者优点于一身的新的数学。有了解析几何,才有微积分,才有数学分析……这一切,都源自于笛卡儿坐标系;而笛卡儿(公元1596~1650年),就是数学的坐标。 

 

1596年3月31日,笛卡儿出生在法国北部都兰城的一个地方议员家庭。8岁时,他进了著名的拉弗累舍公学读书,16岁毕业时,是一名模范学生。尔后,他去波埃顿大学攻读法律,20岁时即获得法学学位。 

1618年,22岁的笛卡儿开始在欧洲游学,“到整个世界这本大书里”寻求真正的知识。他从法国到荷兰,从丹麦到德国,从奥地利到瑞士,又南下意大利,1625年回到法国,在巴黎从事科学研究。 1628年,他定居荷兰,他的所有著作几乎都是在荷兰写就的。

1629~1633年,笛卡儿写成《论世界》一书,包括《屈光学》、《气象学》和《几何学》,以及一篇著名的序言《方法论》,于1637年在荷兰莱顿出版。1641年,他又出版了《形而上学的治思》。 1644年,他出版了《哲学原理》。 

笛卡儿是欧洲近代哲学的主要开拓者之一,黑格尔称他是“现代哲学之父”。笛卡儿把哲学看成是一种完整的思想体系,并形象地将其比喻成一棵大树:树的干是物理学,研究客观物质世界的形成与本质,属于自然哲学的范畴;树的根是形而上学,研究心智(灵魂)及作为一切推理出发点的所谓“第一原理”;树的枝叉代表其他科学,最主要的有医学、机械学(力学)和伦理学。笛卡儿认为,“我们不是从树根、树干而是从其枝叉上采集果实的”,因此哲学的最终目的在于对具体科学的了解,从而使人类成为“自然的主人”。 

笛卡儿赞同培根把科学建立在实验基础上的主张,但更强调以理性为主导认识自然的方法,这使得笛卡儿同培根一同成为科学方法论的两位代表人物。 

穆勒说过:“解析几何使笛卡儿的名字载入史册,远胜于他的任何一项哲学泛论。”的确,使笛卡儿名垂科学史册的,是他创立的解析几何学。

笛卡儿的基本思想是:在平面直角坐标系上建立点的坐标,这样一条几何曲线就可以由一个含两个变数的函数关系式(代数方程式)来表示。这样,笛卡儿就把一个几何问题通过坐标系(现在称为笛卡儿坐标系),归结为代数方程式。用代数方式研究这个方程式的性质,往往比就图立论的几何方法容易得多。然后,再把代数结论转化为几何语言,就得出了几何问题的解法。 

几何问题的代数化,也是中国传统数学的特色。中国当代数学大师吴文俊的数学机械化工作,也是从几何定理的机器证明开始的。 

笛卡儿用解析几何研究了具有两个复数的二次方程,如椭圆、双曲线和抛物线等。他对高次代数方程的理论也进行研究,发现了决定高次方程的正根和负根数目的法则——笛卡儿符号定则。笛卡儿还改进了代数符号系统,他用a,b,c,…表示已知数,用x,y,z,…表示未知数,用平方的形式表示幂。这些方法人们至今仍在沿用。

然而,笛卡儿的著作在当时受到教会的刁难。1649年,瑞典女王请他讲学,他也想借女王的帮助宣传自己的学说。于是,他前往斯德哥尔摩。在北欧的严冬季节,他每周3次凌晨5时起床前往皇宫给女王教授哲学,这严重地摧残了他的健康。1650年2月11日,他因受凉感冒转成肺炎,不治逝世。当时,欧洲新闻界还讥讽地报道:“在瑞典死了一个疯子”。而在他死后13年,教皇仍将他的著作列入禁书目录。

解析几何的创始人

早在十六世纪的时候,海员们就开始在标有经纬线的地图上记录航船每天的位置;联接所有这些位置点的线,就是船的航线。数学家曾不只一次地试图以同样的方法在坐标图上描绘动点的轨迹,可惜都没有取得令人满意的结果。

法国数学家笛卡儿最早认识到轨迹的重要意义。他是第一个建立平面坐标,引入变数,开创解析几何的人。他也是最早使用现代字母和符号来书写方程的数学家之一。

笛卡儿最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡儿所处的时代,代数还是一门比较新的学科,几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究。文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学,也接受了东方传入的代数学。利学技术的发展,使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点,表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处,而没有它们的缺点的方法”。

1637年,笛卡儿发表了《几何学》,他在创立了坐标系之后,成功地创立了解析几何学。这确定了笛卡儿在数学史上的地位。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。 

 在《几何学》的第一卷中,笛卡儿用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离,用坐标来描述空间上的点。他进而创立了解析几何学,表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式,而且可以通过代数变换来实现发现几何性质,证明几何性质。笛卡儿把几何问题化成代数问题,提出了几何问题的统一作图法。为此,他引入了单位线段,以及线段的加、减、乘、除、开方等概念,从而把线段与数量联系起来,通过线段之间的关系,“找出两种方式表达同一个量,这将构成一个方程”,然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图。

笛卡儿在第二卷中用这种新方法解决帕普斯问题时,在平面上以一条直线为基线,为它规定一个起点,又选定与之相交的另一条直线,它们分别相当于x轴、原点、y轴,构成一个斜坐标系。那么该平面上任一点的位置都可以用(x,y)惟一地确定。帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程。笛卡儿指出,方程的次数与坐标系的选择无关,因此可以根据方程的次数将曲线分类。

 《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法,标志着解析几何学的诞生。此后,人类进入变量数学阶段。笛卡儿指出,方程可能有和它的次数一样多的根,还提出了著名的笛卡儿符号法则:方程正根的最多个数等于其系数变号的次数;其负根的最多个数(他称为假根)等于符号不变的次数。笛卡儿还改进了韦达创造的符号系统,用a,b,c,…表示已知量,用x,y,z,…表示未知量。

解析几何的出现,改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向,把相互对立着的“数”与“形”统一了起来,使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的工作为微积分的创立奠定了基础,从而开拓了变量数学的广阔领域。

 正如恩格斯所说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辨证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要了。”

 
 

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